Les lunettes, réfracteurs à lentilles

Nous allons exploiter les propriétés d’interaction de la lumière avec un milieu transparent décrites dans l’article « comprendre la lumière » pour expliquer le fonctionnement des lunettes (réfracteurs, à lentilles) d’observation amateur.

Les télescopes, réflecteurs à miroirs, sont étudiés dans un autre article.

1. La réfraction

La lumière est déviée quand elle passe d’un milieu transparent à un autre : c’est le phénomène de réfraction. Tout se passe comme si la lumière était « ralentie » par rapport à sa propagation dans le vide (célérité c₀ = 300 000 km/s). On définit l’indice du matériau comme le rapport n = c₀/c, toujours supérieur à 1.

Pour l’air, l’eau et le verre, cet indice est respectivement de 1,0003, 1,33 et 1,5 à 1,7. Ce sont des valeurs moyennes car l’indice de réfraction augmente généralement quand la longueur d’onde diminue.

Quand un rayon lumineux frappe une surface délimitant deux régions d’indice différent, ce rayon est dévié selon la loi de Snell-Descartes : n1 x sin i1 = n2 x sin i2.

Considérons un prisme avec deux faces planes faisant un angle Q (Thêta).

En appliquant la loi de Snell-Descartes aux rayon incidents et émergent, on obtient les 4 égalités suivantes :

1.sin i1 = n.sin r1      n.sin r2 = 1.sin i2

Q = r1 + r2                 Déviation a = i1 – r1 + i2 – r2 = i1 + i2 – Q

Quand les angles sont petits, ils sont égaux à leur sinus : on peut alors éliminer i1, i2, r1, r2 et exprimer la déviation comme produit de l’angle au sommet et de la différence d’indice des milieux. C’est la formule du prisme a = Q.(n-1).

2. Les lentilles

Une lentille se comporte comme un ensemble de prismes dont les angles au sommet augmentent jusqu’au bord de celle-ci. Ainsi, la déviation des rayons issus d’une source S est plus forte quand on s’éloigne du centre de symétrie ; au premier ordre, ils convergent en S’ appelé point image ou conjugué de S. Cela fonctionne aussi pour une lentille concave avec des angles négatifs.

Un système optique est dit stigmatique pour un point si tous les rayons issus de ce point convergent vers un point image unique.

Il n’existe pas de dispositif stigmatique pour tout l’espace, à part le miroir plan. Une lentille mince peut être considérée comme stigmatique si les conditions de Gauss sont respectées : rayons d’incidence faible et proches du centre optique, ce que nous supposerons par la suite.

Le point focal (ou plan focal dans l’espace 3D) est le point où convergent les rayons issus d’une source ponctuelle. Quand cette source est à l’infini, les rayons sont parallèles et ce point focal est le foyer de la lentille. La distance de ce point au centre optique est la distance focale du système, positive pour les lentilles convergentes, négatives pour les lentilles divergentes.

1/f s’appelle la puissance ou la vergence de la lentille, mesurée en m^-1 ou dioptries.

En appliquant les propriétés de la lentille et du foyer, on construit l’image de l’objet. C’est le plan de netteté pour un appareil photo. Si l’objet est à l’infini, les rayons sont parallèles et convergent en F’.

Des considérations purement géométriques avec le théorème de Thales donnent la relation de Descartes liant les dimensions de l’objet et de son image réelle (objet conjugué) :

1/OA’ = 1/f + 1/OA      ou encore FA.F’A’ = -f²

Le grandissement A’B’/AB vaut OA’/OA = f/(f+OA).

Dans les formules, les valeurs sont signées (comptées positives dans le sens des rayons).

Dans les systèmes multiples à plusieurs lentilles, on construit successivement l’objet image après la traversée de chaque lentille. Ainsi, avec deux lentilles, on montre que la distance focale résultante est f = f1.f2/(f1+f2-d).

Intéressons-nous au cas où F’1 et F2 (F'2 dans le cas d'une deuxième lentille divergente) sont confondus : f1+f2=d et la focale résultante est infinie. On dit que le système est afocal : les rayons parallèles en entrée ressortent parallèles ; l’image virtuelle d’un objet à l’infini vue à travers le système est nette (collimatée à l'infini pour l'oeil).

3. Lunette de Galilée

Sur la base d’un modèle conçu par des opticiens hollandais, Galilée a inventé en 1609 la première lunette astronomique en associant deux lentilles dont les foyers sont confondus. La deuxième lentille (l’oculaire) était divergente.

La figure ci-dessous montre que l’angle d’arrivée des rayons lumineux est amplifié, le grossissement vaut f_objectif/f_oculaire. On remarque que l’image virtuelle A’B’ est droite (dans le même sens que AB).

La première lunette avait un objectif de 51 mm et une focale de 1330 mm, pour un grossissement de 14 fois. Galilée découvrira les principaux satellites de Jupiter le 7 janvier 1610, puis les taches solaires et les phases de Vénus la même année.

Cependant les rayons entrant dans l’instrument sont fortement divergents au niveau de la deuxième lentille : l’œil avec sa pupille de 5 mm ne peut les capter en même temps. En effet la pupille de sortie (le conjugué image à travers l’oculaire des bords de l’objectif, de dimension D/G) est virtuelle, située avant la lentille divergente : on ne peut y placer l’œil. Ce dernier joue donc le rôle de diaphragme et réduit la luminosité comme le champ.

C’est pourquoi cette formule est aujourd’hui limitée aux faibles grossissements, et employée surtout dans les jumelles de théâtre pour son encombrement réduit. La société Omegon commercialise une binoculaire X2 pour l’observation directe du ciel.

4. Lunette de Kepler

L’astronome Johannes Kepler a perfectionné la lunette de Galilée en utilisant un oculaire convergent. L’image est renversée mais ce n’est pas gênant pour l’observation astronomique.

Ici encore, le grossissement a’/a est égal à f_objectif/f_oculaire.

On voit que les rayons sortant de l’oculaire recoupent l’axe optique : l’intérêt est de pouvoir placer l’œil sur l’image réelle de la pupille de sortie, et donc de recevoir simultanément tous les rayons qui entrent dans l’objectif.

La pupille de sortie se forme derrière la dernière lentille à une distance appelée dégagement oculaire (sa valeur est f_oculaire.(1+1/G) avec une lentille simple). La dénomination anglaise « eye relief » est parfois traduite de façon impropre en « relief d’œil ».

5. Oculaires

L’oculaire détermine le grossissement de l’instrument (G=F/f) et le champ visuel = champ oculaire / grossissement. Le champ théorique de l’oculaire est indiqué sur celui-ci, compris entre 50° et 100° selon les formules décrites ci-après. Les focales usuelles vont de 4 à 50 mm.

Il ne faut pas oublier que le champ maximum en degrés d’un oculaire de diamètre d et de focale f  est limité par la géométrie à la valeur (180/pi).d/f. En pratique, avec un coulant de 31,75 mm, cette limite est atteinte vers f=25 mm (40 mm pour le coulant 50,8 mm).

Le tableau ci-dessous indique le champ maximum en degrés accessible en fonction de la focale de l’oculaire, pour les deux diamètres standards. Si le champ théorique de l’oculaire est plus élevé que la valeur du tableau, il faut passer au coulant supérieur pour profiter de toute l’étendue du champ.

Les opticiens ont cherché à améliorer l’oculaire convergent à une lentille de Kepler. Le but est d’augmenter le champ en conservant un dégagement oculaire suffisant, notamment pour les porteurs de lunettes.

Différentes formules ont été élaborées :

Huygens : 2 lentilles convergentes dans le même matériau espacées de (f1+f2)/2 pour que tous les rayons colorés ressortent parallèles ; dérivés Dollond, Ramsden, Kellner ;

Plössl : 2 doublets convergents achromatiques (Simon Plössl était un opticien autrichien du XIXe siècle). Variante Super Plössl ou Erfle avec une lentille convergente entre les deux doublets ; ce sont les plus courants en version économique ;

Orthoscopique : 1 triplet + 1 lentille convergente ;

Nagler : 7 lentilles dont 1 doublet divergent à l’entrée (champ jusqu’à 100°).

Al Nagler est le fondateur de la société américaine Televue, fabricant d’instruments de haute qualité.

Pour plus de détails, on pourra se reporter au site http://serge.bertorello.free.fr/optique/dispoagr/dispoagr.html#kepler.

Les aberrations géométriques et chromatiques sur les lentilles de l’époque étaient très importantes c’est pourquoi les instruments étaient conçus avec un rapport F/D élevé. Nous verrons dans l’article consacré au chromatisme comment ces aberrations ont pu être corrigées.