Formules optiques utiles

1. Les angles

Les angles sont généralement exprimés en degrés (°). Pour des unités plus petites, on parle de :

• minutes d’arc = 1’ = 1/60 °
• secondes d’arc = 1’’ = 1/60 ‘ = 1/3600 °

Les géomètres utilisent le radian qui vaut 180/π soit 57,3°.

Un objet de taille L à une distance D est vu sous un angle égal à L/D en radians (rigoureusement Arctg (L/D) ou Arctg est la fonction inverse tangente sur la calculatrice).

On considère que l’œil humain peut séparer deux points sous un angle de 1 minute d’arc, soit 0,29 mrad.

2. Instrument en visuel

Les tubes optiques sont caractérisés par leur diamètre et par leur distance focale exprimés en mm. On parle d’un télescope 150/750 par exemple.

La distance focale est la distance entre un plan de référence (le « centre optique ») et le plan où convergent des rayons parallèles après avoir traversé l’objectif.

C’est l’oculaire qui va déterminer le grossissement de l’instrument. Ce grossissement G est égal au rapport F/f où F est la focale du télescope et f la focale de l’oculaire, dans les mêmes unités bien sûr. Il est indépendant du diamètre D de l’instrument, lequel agit sur la clarté de l'image et sur le pouvoir de résolution.

Cependant, en pratique le grossissement doit être compris entre D/6 et 2D avec D exprimé en mm. La limite inférieure est fixée par la taille de la pupille de sortie Ps=D/G, qui ne doit pas dépasser celle de l’œil (6 mm); la limite supérieure dépend de la qualité de l’instrument, de la perte de luminosité et de la résolution acceptables en fonction de la turbulence (voir ci-dessous). En pratique il faut éviter les grossissements supérieurs à 1,4D. On détermine ainsi la gamme d’oculaires adaptés à un tube optique.

Le champ apparent C est égal au champ de l’oculaire (entre 50° et 80°) divisé par le grossissement. Le champ maximum en degrés est cependant limité par la géométrie à (180/pi)xd/F où d est le diamètre interne du coulant de l’oculaire. Plus on grossit, plus le champ et la luminosité D²/G² se réduisent.

Avec une lentille de Barlow de rapport R, le grossissement devient G x R et le champ C / R.

Pour des détails sur les lentilles de Barlow et réducteurs de focale, voir la page dédiée ou le site de Thierry Legault : http://www.astrophoto.fr/focal_fr.html.

La magnitude limite des étoiles détectables par l’instrument est M_lim=5xlog₁₀(D)+2.1

La résolution théorique de l'instrument en secondes d’arc vaut 0,254 x l/D où l est la longueur d'onde considérée (en nanomètres) : c’est le rayon angulaire de la tache de diffraction de la lumière, indépendant de la qualité de l’instrument. Il est proche de 120/D à l=500 nm (dans le vert), soit 0,8'' pour un diamètre de 150mm. Avec un pouvoir séparateur de l’œil de 60’’, la tache de diffraction devient théoriquement visible pour un grossissement supérieur à D/2 (c’est le grossissement résolvant de l’instrument). Cependant la turbulence atmosphérique limite en général la résolution à 2-3 secondes d’arc en visuel.

1 seconde d'arc vaut 0,0048 milliradians, c'est l'angle sous lequel apparaît une pièce de 1 € placée à 4,7 km.

Sur un capteur photo placé au foyer, la tache de diffraction a pour rayon 1,22.l x F/D (à comparer avec la taille d'un pixel).

3. Photographie sur trépied

Avec un appareil sur un support fixe, il faut limiter le temps de pose en dessous de : Tmax = 20 x (nb ouverture + taille pixel en μm) / Focale en mm.

C'est la règle "NPF" ; pour un capteur au format APS-C (22,2 x 14,8 mm, pixels de 4 à 5 μm) on peut la simplifier en Tmax = 200/F. Au-delà, les étoiles apparaîtront filées et un suivi manuel ou motorisé s’impose.

Cette formule est valable pour les étoiles près de l’équateur céleste qui se déplacent le plus vite, à 15°/h. On peut diviser le résultat par cosinus(déclinaison de l’objet observé) pour les objets se rapprochant de l’étoile polaire.

Les calculs sont détaillés ici : https://sahavre.fr/wp/les-coulisses-de-la-regle-npf/.

4. Photographie au foyer

Le rapport d’ouverture F/D caractérise la luminosité d’un tube optique, comme un objectif.

En effet l’exposition d’une photo est proportionnelle à Temps de pose x Nombre ISO / (F/D)².

Un F/D petit (4 à 6) permet de réduire les temps de pose.

Ici, le champ est imposé par la focale de l’instrument et par les dimensions du capteur, selon la formule suivante :

Champ = 2 x Arctg ((largeur du capteur / 2) / Focale)

Pour les petits angles (moins de 10°) la formule devient champ = 57,3 x d/F en degrés ou 3438 x d/F en minutes d’angles. Dans le cas d’un capteur APS-C j’utilise les formules :

champ en degrés = 1300/F en largeur, 860/F en hauteur.

(F est la focale résultante en utilisant éventuellement une lentille de Barlow)

Par exemple, pour photographier entièrement la Lune (disque de 30’ d’arc) avec un APS-C Canon, la focale maximum sera de 1700 mm. En pratique on prendra une marge de 30% sur les bords de l’image donc une focale de 1700 x 0,7 = 1200mm.

Pour la galaxie d’Andromède (2°) il faut une focale inférieure à 400 mm.

Ci-contre un tableau des focales à utiliser avec un APS-C en fonction de la taille de l'objet.

L’échantillonnage est le champ vu par 1 pixel, exprimé en secondes d’arc. Il vaut 206 x (taille du pixel en μm) / F. Idéalement, l’échantillonnage sera inférieur à la résolution maximale de l’instrument et à celle imposée par la turbulence. Pour les poses très courtes en vidéo, le tri des images par le logiciel de pré-traitement permet d'atténuer la turbulence d'un facteur 3 à 4.