L'équation du temps

Nous connaissons tous le midi solaire, cet instant au milieu de la journée où notre astre culmine au plus haut sur l'horizon. Cet instant est très proche du passage du Soleil au méridien nord-sud de l'observateur (voir la note en fin d'article) ; il est indiqué par les cadrans solaires.

Cependant, il apparaît que ce passage au méridien ne coïncide généralement pas avec le midi régulier fourni par notre montre, laquelle indique le temps moyen. Ce midi du Soleil fluctue en avance ou en retard d’une valeur qui peut atteindre 16 mn, une fois corrigé le décalage constant lié à la longitude du lieu par rapport au méridien de Greenwich. La différence temps solaire – temps moyen est appelée équation du temps.

Cette variation cyclique sur l’année peut sembler sans importance mais elle est cruciale pour les navigateurs qui font un point au sextant sur le Soleil. 1 mn en temps se traduit en effet par une erreur de position allant jusqu’à 15 milles nautiques, soit 27,8 km. D’autre part, la position du Soleil le jour de l’équinoxe détermine le point vernal, origine du système de coordonnées célestes : cette position doit être connue avec beaucoup de précision pour les astronomes.

L’équation du temps a deux composantes, une de période semestrielle et une de période annuelle.

Le premier effet, purement géométrique, est dû à l’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre par rapport à l’écliptique de 23° 26’ soit 23,44°.

Si l’on se place dans un repère terrestre, le soleil paraît tourner autour de la Terre dans un plan incliné. La projection de ce point est en avance ou en retard par rapport à un soleil fictif tournant à vitesse uniforme dans le plan de l’équateur ; la convergence a lieu en quatre points, les solstices et les équinoxes.

Entre les deux, l’écart suit une loi sinusoïdale (courbe verte). Il atteint 10 mn.

Le deuxième effet provient de la forme elliptique de l’orbite terrestre. Chaque jour, en raison de son déplacement, la Terre doit tourner d'environ 360+1° pour retrouver le soleil à midi ; cependant, ce supplément de rotation n’est pas tout à fait constant dans l’année. En effet, au-delà de l’effet géométrique induit par l’aplatissement de la trajectoire et par la position décalée du Soleil qui occupe un foyer de l’ellipse, notre planète accélère vers le périhélie puis ralentit vers l’aphélie selon les lois de Kepler.

L’écart est indiqué par la courbe bleue suivante, qui s’annule au périhélie et à l’aphélie.

Les deux composantes verte et bleue ne sont pas complètement indépendantes et donc ne s’additionnent pas rigoureusement mais on peut en faire l’approximation car les termes du second ordre sont très faibles. La somme (courbe rouge) indique les corrections à apporter à l’heure d’un cadran solaire pour obtenir le temps moyen (celui de nos horloges).

On constate que cette courbe rouge s’annule quatre fois dans l’année ; elle passe par un extremum vers le 10 février (retard 14 mn 6s) et le 1^er novembre (avance 16 mn 33s). L’heure de passage du Soleil au méridien de Greenwich, autour de 12h TU (temps moyen indiqué par une horloge), est fournie par les éphémérides publiées par les grands observatoires nationaux.

On peut aussi utiliser la formule approchée suivante pour la courbe rouge :

Equation du temps E = -9,87.sin(2B) + 7,53.cos(B) + 1,5.sin(B)

où E est exprimée en minutes, et la quantité B = 360.(N-81) / 365 exprimée en degrés, dépend du numéro du jour de l'année (N=1 le premier janvier).

NB : La courbe bleue se décale vers la droite par rapport à la courbe verte d’environ un jour tous les 57 ans en raison de la précession des équinoxes et d’une lente rotation du grand axe de l’orbite terrestre (voir plus loin).

Si l'on note chaque jour à midi heure locale (donc en temps moyen) la position de l’ombre du Soleil sur un cadran solaire, on obtient la figure en huit suivante qui était connue des astronomes de l’antiquité. Elle permet inversement de déduire l’heure moyenne à partir de l’heure solaire en fonction de la date du jour.

En effet, le Soleil à midi décrit une courbe de ce type dans le ciel au cours de l’année ; elle porte le nom (masculin) d’analemme. La figure qui suit a été tracée avec le logiciel Stellarium en se plaçant à l’observatoire de Greenwich à 12h TU mais elle est identique en tout point du globe terrestre, éventuellement masquée en partie par l’horizon pour les lieux près des pôles. La figure est inclinée si l’on choisit une autre heure de référence que le midi local.

Les extremums correspondent aux solstices, tandis que les équinoxes se produisent par définition quand le Soleil franchit le plan de l’équateur.

Photos du ciel prises en surimpression avec un filtre solaire tous les huit jours à la même heure pendant une année depuis un poste fixe ; la position du Soleil décrit l’analemme tracé dans la figure précédente.

Cette courbe est facile à paramétrer dans une feuille Excel avec x = équation du temps et y = hauteur du Soleil à midi, donné par la formule approchée suivante :

y = 90° - latitude du lieu + 23,44 x sin(360 x (date courante – équinoxe printemps)/365).

On peut aussi utiliser un générateur d’analemmes comme celui disponible à l’adresse https://alokm.com/astro/analemmagenerator.html ; la page html est téléchargeable pour être éventuellement exécutée en local. Pour bien comprendre l’influence des trois paramètres obliquité, excentricité et déphasage du périhélie par rapport au solstice, il faut faire varier ces derniers et observer la déformation de la courbe qui en résulte.

Il est intéressant de comparer les planètes entre elles. Sur Mars par exemple, l’équation du temps ne s’annule que deux fois dans l’année mais les écarts peuvent atteindre 52 mn. En raison d’une excentricité cinq fois supérieure à celle de l’orbite terrestre, le printemps et l’été dans l’hémisphère nord sont nettement plus longs que l’automne et l’hiver. L’analemme a la forme suivante :

Source : NASA/Goddard Institute for Space studies

Les paramètres qui modulent l’équation du temps varient au cours des millénaires et l’analemme du Soleil vu de la Terre se déforme ! Ainsi, l’obliquité oscille entre 22,2° et 24,5° (période 41 000 ans) et l’excentricité varie de manière irrégulière entre 0,00005 et 0,068 (pseudo-périodes 100 000 et 400 000 ans).

Cependant, la variation la plus rapide vient de la dérive du décalage entre la ligne des solstices et celle des apsides (le grand axe de l’ellipse). Cette dérive provient de l’addition de deux mouvements :

• la précession des équinoxes qui fait tourner comme nous l’avons vu la ligne des solstices dans le sens indirect (période 25769 ans) ;
• une précession de la ligne des apsides dans le sens direct (période 111 600 ans) en raison de l’influence des autres planètes et de l’effet relativiste.

Au final, l’écart angulaire entre les deux lignes varie de 0 à 360° avec une période de 20 800 ans environ. Actuellement, la Terre passe au périgée le 4 janvier soit 14 jours après le solstice du 21 décembre ; cette date avance d’un jour tous les 57 ans en moyenne. La configuration périhélie/aphélie se renverse donc par rapport aux solstices tous les 10 400 ans ; voici comment se transforme l’analemme dans cet intervalle :

L’évolution des paramètres de l’orbite terrestre a un impact sur la durée des saisons et sur le climat, en réglant notamment le cycle des glaciations : voir l’article détaillé de ce blog sur le mouvement de la Terre autour du Soleil.

Les levers et couchers de Soleil

L’effet des principaux facteurs est détaillé dans l’article de ce blog sur la durée du jour.

Cependant, un effet perceptible de l’équation du temps affecte les heures de lever et de coucher de notre astre diurne. Il est particulièrement sensible quand la différence entre le temps vrai (solaire) et le temps moyen varie beaucoup d’un jour sur l’autre, i.e. quand la pente de la courbe rouge est forte. Sur Terre, cela se produit par exemple dans la deuxième quinzaine de décembre, alors que la variation de la durée du jour est faible à cette période proche du solstice.

Voici les courbes donnant l’heure TU de levers et de couchers de Soleil en décembre, ainsi que les heures en temps vrai non corrigées de l’équation du temps (courbes en pointillés). Le lieu est choisi par commodité sur le méridien de Greenwich, quelques km à l’ouest de la ville du Havre.

Source : IMCCE

On voit que l’heure TU de coucher du Soleil recommence à augmenter dès le 12 ou 13 décembre à la Sainte Lucie, alors que l’heure de lever ne diminue que début janvier. Cependant la différence entre les deux est bien minimale le 21 décembre au solstice d’hiver.

Plus de détails sur https://www.astrolabe-science.fr/equation-du-temps-solstices/

Précision sur l’instant de culmination d’un astre

Les étoiles, et plus généralement les astres dont la position est fixe sur la voûte céleste, passent au plus haut sur l’horizon quand ils franchissent le méridien nord-sud du lieu de l’observateur.

Ce n’est pas tout à fait vrai pour les astres dont les coordonnées ascension droite et déclinaison varient dans le temps, comme c’est le cas du Soleil, de la Lune et dans une moindre mesure des planètes.

En effet la culmination correspond à l’instant où la variation de hauteur par rapport au temps s’inverse, donc passe par une valeur nulle. Or la géométrie indique que la hauteur h d’un astre à un instant donné est fonction de la latitude du lieu phi, de la déclinaison de l’astre DEC et de son angle horaire AH par rapport au méridien de l'observateur (voir la page « coordonnées astronomiques ») :

sin(h) = sin(phi).sin(DEC)+cos(phi).cos(DEC).cos(AH)

En dérivant par rapport au temps :

cos(h).dh/dt = sin(phi).cos(DEC).dDEC/dt - cos(phi).[sin(DEC).dDEC/dt.cos(AH) + cos(DEC).sin(AH).dAH/dt]

On en déduit quand dh/dt s’annule, et en multipliant tous les termes par dt/dAH :

sin(AHc) = [tan(phi)-tan(DEC)].dDEC/dAH  à l’instant de culmination.

Si l’astre a une déclinaison constante (dDEC/dAH=0) alors AHc est nul et la culmination a bien lieu au passage au méridien du lieu (cas d’une étoile).

Dans le cas contraire, l’angle horaire AHc n’est généralement pas nul ; son signe dépend des signes respectifs de la différence des deux tangentes et de la variation de la déclinaison. Cet angle horaire est plus élevé quand dDEC/dAH est maximum, soit quand l’astre coupe le plan de l’équateur.

Prenons l’exemple du passage du Soleil au méridien d’Ajaccio (latitude 41° 55') le 20 mars 2026 à 12h 32mn 29s (heure légale). La date de l’équinoxe de printemps (DEC = 0) a été choisie car à ce moment dDEC/dt est maximum, avec une valeur de 1’ par heure de temps. dAH/dt est à peu près constant sur l'année à 15°/h.

sin(AHc) = [tan(41,9°)-tan(0)]x1’/(15x60’) = 0,0010 ce qui donne AHc = 0,057° ou 13,7 s de temps, en multipliant par 3600/15.

Nous pouvons utiliser Stellarium pour vérifier ce calcul car l’application permet de connaître les paramètres de position de l’astre en fonction de l’heure affichée. Au moment de la culmination du Soleil le 20 mars, sa hauteur est maximale et ne varie plus entre 12h 32mn 30s et 12h 32mn 55s : nous prendrons donc le milieu de cet intervalle. Nous constatons que la culmination intervient bien à 14h 32mn 42s soit 13s après le passage au méridien.

L’effet est nettement plus marqué avec la Lune, dont la déclinaison varie beaucoup plus vite.

Plaçons-nous encore à Ajaccio le 29 mars 2026 à 23h 08mn 39s, quand la Lune coupe le méridien avec une déclinaison de 11° 21’. Stellarium permet de calculer dDEC= -0.251°/h et le delta horaire de longitude dû au mouvement propre de l’astre (30’/h), à retrancher aux 15°/h correspondant à la rotation terrestre.

sin(AH) = -[tan(41,9°)-tan(11,3°)]x0,251/(15-0,5) = -0,121 ce qui donne AHc = -0,69° ou -2mn 46s de temps.

En effet, nous pouvons observer dans Stellarium que la culmination intervient à 23h 05mn 57s soit 2 mn 42s avant le passage au méridien.

Cet écart peut atteindre 4 mn en France métropolitaine quand la Lune est proche de l’équateur céleste.

Il s’amplifie aussi pour les lieux de latitude élevée, car tan(phi) augmente rapidement au-delà de 45°. Transportons-nous à Trondheim en Norvège, à peu près sur le même méridien qu’Ajaccio mais à 63°26’ de latitude nord. Dans la nuit du 29/03/2026, la Lune franchit le méridien à 23h 01mn 49s.

Le calcul donne sin(AHc) = -0,0311 => AHc = -1,78° ou -7mn 08s de temps.

La culmination indiquée dans Stellarium intervient en effet à 22h 54mn 45s soit 7 mn 04s avant le passage au méridien.